本书着重介绍适合于电子计算机上采用的数值计算方法及其理论,内容包括误差分析,非线性方程的解法,线性代数方程组数值解法,多项式插值与函数逼近,数值积分与数值微分,常微分方程数值解法,偏微分方程数值解法等.

zlib/Mathematics/Computational Mathematics/孙志忠/数值分析_119539820.pdf

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Southeast University Press

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封面 1
内容提要 3
版权页 3
第4版修订说明 4
第3版修订说明 5
第2版修订说明 6
第1版前言 7
目录 8
1 绪论 14
1.1 数值分析的对象和特点 14
1.2 误差的基本概念 14
1.2.1 误差的来源 14
1.2.2 绝对误差 15
1.2.3 相对误差 16
1.2.4 有效数 16
1.2.5 数据误差对函数值的影响 17
1.3 机器数系 20
1.3.1 机器数系 20
1.3.2 机器数系的运算及误差估计 22
1.4 数值稳定问题 25
1.4.1 数值稳定性 25
1.4.2 良态问题与病态问题 28
1.4.3 减少运算次数 30
习题1 31
2 非线性方程的解法 34
2.1 概述 34
2.1.1 根的搜索 34
2.1.2 二分法 35
2.2 不动点迭代法 37
2.2.1 迭代格式的构造 37
2.2.2 迭代法的收敛性 38
2.2.3 迭代法的收敛速度 43
2.2.4 Aitken加速法 45
2.3 Newton法 48
2.3.1 Newton迭代格式及其几何意义 48
2.3.2 局部收敛 49
2.3.3 求重根的修正Newton法 51
2.3.4 大范围收敛 52
2.3.5 Newton法的变形 56
2.4 多项式方程的求根 56
2.4.1 实系数多项式零点的分布 56
2.4.2 劈因子法 60
2.5 应用实例:薄壳结构的静力计算 63
2.5.1 问题的背景 63
2.5.2 数学模型 64
2.5.3 计算方法与结果分析 65
习题2 67
3 线性代数方程组数值解法 70
3.1 引言 70
3.2 消去法 71
3.2.1 三角方程组的解法 71
3.2.2 Gauss消去法 72
3.2.3 追赶法 76
3.2.4 列主元Gauss消去法 77
3.3 矩阵的直接分解法 81
3.3.1 矩阵的直接分解法 81
3.3.2 对称矩阵的直接分解法 85
3.3.3 列主元的三角分解法 88
3.4 方程组的性态与误差分析 90
3.4.1 向量范数 91
3.4.2 矩阵范数 93
3.4.3 方程组的性态及条件数 101
3.4.4 方程组近似解可靠性的判别 105
3.5 迭代法 106
3.5.1 迭代格式的一般形式 106
3.5.2 几个常用的迭代格式 107
3.5.3 迭代格式的收敛性 111
3.6 幂法及反幂法 118
3.6.1 求主特征值的幂法 118
3.6.2 反幂法 125
3.7 应用实例:纯电阻型立体电路分析 127
3.7.1 问题的背景 127
3.7.2 数学模型 127
3.7.3 计算方法与结果分析 129
习题3 131
4 多项式插值与函数很好逼近 139
4.1 Lagrange插值 139
4.1.1 基本插值多项式 140
4.1.2 Lagrange插值多项式 141
4.1.3 插值余项 143
4.2 差商、差分和Newton插值 145
4.2.1 差商及Newton插值多项式 146
4.2.2 差分及等距节点Newton插值多项式 151
4.3 Hermite插值 152
4.4 高次插值的缺点及分段插值 158
4.4.1 高次插值的误差分析 158
4.4.2 分段线性插值 161
4.4.3 分段Hermite插值 162
4.5 3次样条插值 163
4.5.1 3次样条插值函数 164
4.5.2 3次样条插值函数的求法 165
4.5.3 3次样条插值函数的收敛性 169
4.6 有理函数插值 173
4.7 很好一致逼近 179
4.7.1 线性赋范空间 179
4.7.2 很好一致逼近多项式 180
4.7.3 Chebyshev多项式 184
4.7.4 近似很好一致逼近多项式 187
4.8 很好平方逼近 189
4.8.1 内积空间 190
4.8.2 很好平方逼近 191
4.8.3 连续函数的很好平方逼近 193
4.8.4 超定线性方程组的最小二乘解 195
4.8.5 离散数据的很好平方逼近 196
4.9 应用实例:用样条函数设计公路平面曲线 199
4.9.1 问题的背景 199
4.9.2 数学模型 199
4.9.3 计算方法与结果分析 200
习题4 202
5 数值积分与数值微分 207
5.1 数值积分的基本概念 207
5.2 插值型求积公式 208
5.2.1 插值型求积公式 208
5.2.2 代数精度 211
5.2.3 梯形公式、Simpsml公式和Cotes公式的截断误差 214
5.3 复化求积公式 216
5.3.1 复化梯形公式 216
5.3.2 复化Simpson公式 220
5.3.3 复化Cotes公式 222
5.3.4 复化求积公式的阶 223
5.3.5 求积公式的收敛性和稳定性 223
5.4 Ronlberg求积法 224
5.4.1 Rorrlberg求积公式 224
5.4.2 Romberg求积法的一般公式 227
5.5 Gauss求积公式 229
5.5.1 Gauss求积公式 230
5.5.2 正交多项式 233
5.5.3 区间[一1,1]上的Gauss公式 236
5.5.4 区间[a,b]上的Gauss公式 237
5.5.5 Gauss公式的截断误差 239
5.5.6 GaUSS公式的收敛性和稳定性 240
5.5.7 带权积分 242
5.6 振荡函数的积分 245
5.7 重积分的近似计算 249
5.8 数值微分 255
5.8.1 数值微分问题的提出 255
5.8.2 插值型求导公式 256
5.8.3 样条求导 260
5.9 应用实例:混频器中变频损耗的数值计算 261
5.9.1 问题的背景 261
5.9.2 数学模型 262
5.9.3 计算方法与结果分析 263
习题5 264
6 常微分方程数值解法 268
6.1 微分方程数值解法概述 268
6.1.1 问题及基本假设 268
6.1.2 离散化方法 269
6.2 Euler方法 269
6.2.1 Euler公式 273
6.2.2 后退Euler公式 274
6.2.3 梯形公式 274
6.2.4 预测校正系统与改进Euler公式 274
6.2.5 整体截断误差 276
6.3 Rurlge-Kutta方法 277
6.3.1 RLrage-Kutta方法的基本思想 277
6.3.2 2阶RLrage-Kutta公式 279
6.3.3 高阶RLlnge-Kutta公式 281
6.3.4 隐式Rurage-Kutta公式 284
6.4 单步方法的收敛性和稳定性 284
6.4.1 单步方法的收敛性 285
6.4.2 单步方法的稳定性 287
6.4.3 单步方法的自适应算法 288
6.4.4 单步方法的加速 289
6.5 线性多步法 290
6.5.1 基于Taylor展开的待定系数方法 291
6.5.2 基于数值积分的构造方法 294
6.5.2.1 Adams星式公式 294
6.5.2.2 Adams隐式公式 296
6.5.2.3 Adams预测校正方法 298
6.5.2.4 Adams公式的加速 300
6.5.3 多步法的收敛性和稳定性 300
6.5.4 绝对稳定性和绝对稳定域 302
6.6 1阶微分方程组与高阶微分方程 303
6.6.1 1阶微分方程组 303
6.6.2 高阶微分方程 304
6.6.3 刚性问题 306
6.7 边值问题的数值解法 308
6.7.1 试射法 309
6.7.2 差分法 311
6.8 应用实例:磁流体发电通道的数值计算 313
6.8.1 问题的背景 313
6.8.2 数学模型 313
6.8.3 计算方法与结果分析 315
习题6 316
7 偏微分方程数值解法 320
7.1 抛物型方程的差分解法 320
7.1.1 网格剖分 321
7.1.2 古典显格式 323
7.1.3 古典隐格式 324
7.1.4 Richardson格式 325
7.1.5 Crank Nicolson格式 327
7.2 差分格式的稳定性和收敛性 333
7.2.1 差分格式的稳定性 333
7.2.2 差分格式的收敛性 340
7.3 双曲型方程的差分解法 343
7.3.1 显式差分格式 344
7.3.2 隐式差分格式 346
7.4 椭圆型方程的差分解法 349
7.4.1 差分格式的建立 350
7.4.2 差分格式解的存在唯一性及其收敛性 351
7.5 应用实例:水污染方程的有限差分解 355
7.5.1 问题的背景 355
7.5.2 数学模型 356
7.5.3 计算方法与结果分析 356
习题7 358
习题参考答案 361
参考文献 416
封底 417

2025-01-15